MATEMATICA

Crediti: 
8
Settore scientifico disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Il corso ha lo scopo di fornire alcuni strumenti e metodi matematici necessari in diverse applicazioni. La trattazione teorica dei concetti fondamentali sarà accompagnata da numerosi esempi.

Sarà curata l'acquisizione di un linguaggio matematico formalmente corretto, stimolando la capacità di esprimere i contenuti in modo chiaro e sottolineando i collegamenti tra le diverse parti del corso, soprattutto mediante lo svolgimento di esercizi.

Prerequisiti

Abilità nella trattazione di espressioni numeriche e nella risoluzione di equazioni e disequazioni numeriche.

Contenuti dell'insegnamento

Nozioni base di logica matematica e di teria degli insiemi. I numeri reali. Funzioni reli di variabile reale : proprietà, limiti, continuità, derivabilità, integrabilità. Equazioni differenziali ordinarie. Cenno a metodi della Statistica descrittiva.

Programma esteso

1. Elementi di teoria degli insiemi; operazioni fra insiemi, connettivi logici. Insiemi numerici: N, Z, Q, R.
Operazioni algebriche, ordinamento, maggioranti, minoranti, estremi superiore ed inferiore, massimo e minimo. Completezza di R. Intervalli di R, intorni.

2. Funzioni reali e proprietà: definizione, dominio, codominio e immagine. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, inverse. Composizione di funzioni e proprietà. Grafico di una funzione.
Funzioni monotone. Funzioni limitate. Punti di massimo e di minimo di una funzione reale.
Funzioni elementari: valore assoluto, potenze, polinomi, radici aritmetiche, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, potenze reali, funzioni trigonometriche.

3. Limiti di funzioni di variabile reale, limite destro e sinistro, teoremi fondamentali sui limiti; teoremi di confronto; limiti di funzioni composte; limiti notevoli. Operazioni coi limiti e forme indeterminate.
Continuità di una funzione reale e proprietà: permanenza del segno, continuità della funzione composta. Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass. Funzioni invertibili e continuità dell'inversa di una funzione continua.

4. Calcolo differenziale: rapporto incrementale e suo significato geometrico, derivazione, regole di derivazione, proprietà delle funzioni derivabili. Estremi relativi, teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e conseguenze. Teorema di de L'Hopital. Derivate successive e formula di Taylor. Studio di funzione: crescenza, decrescenza, concavità, convessità, asintoti e grafico. Applicazioni alla ricerca degli estremi e allo studio dei grafici di funzioni.

5. Calcolo integrale. Integrale definito: somme integrali inferiori e somme integrali superiori; definizione dell'integrale. Proprietà dell'integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo. Teorema della media. Calcolo di integrali definiti. Integrale indefinito, primitive, secondo teorema fondamentale del calcolo. Integrazione delle funzioni elementari e metodi d'integrazione indefinita. Integrali impropri e relativi criteri di convergenza.

6. Nozione di equazione differenziale. Integrazione di alcune equazioni differenziali: equazioni lineari del primo ordine in forma normale; equazioni a variabili separabili; equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

7. Elementi di Statistica: media aritmetica, media geometrica, moda, mediana, varianza, range, deviazione standard. Retta di regressione; coefficiente di Pearson.

Bibliografia

M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, "Analisi Matematica 1", Ed. Zanichelli.

A. Guerraggio, "Matematica per le scienze", Ed. Pearson.

P. Marcellini, C.Sbordone, "Elementi di Analisi Matematica Uno", Ed. Liguori.

Metodi didattici

L’insegnamento si svolge attraverso lezioni frontali in cui si affrontano aspetti sia teorici che applicativi. Le esercitazioni sono programmate in modo che gli studenti possano realizzare praticamente le soluzioni dei problemi delineati in forma teorica durante le lezioni.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell’apprendimento avviene attraverso una verifica finale consistente in una prova scritta (test+compito) seguita da una prova orale (facoltativa).

Altre informazioni

Nessuna